Expression d'une solution causale et stable

Si on contraint la solution à être causale, les échantillons de $g(t)$ doivent être nuls pour les valeurs négatives de $t$. Le minimum de la variance $E[\varepsilon^2(t)]$ est alors obtenu lorsque

$$t\ge 0 : g(\tau)=\frac{1}{\sigma^2}r_{vx}(\tau)$$ (333)

$$t<0 : g(\tau)=0$$

On notera $\left[R_{vx}(z)\right]_+$ la transformée en $z$ de la réponse impulsionnelle causale $g(t)$

$$\left[R_{vx}(z)\right]_+=\left[\frac{R_{xy}(z^{-1})}{\sigma^2 B(z^{-1})}\right]_+$$ (334)

$$H(z)=\frac{1}{\sigma^2 B(z)}\left[\frac{R_{xy}(z^{-1})}{B(z^{-1})}\right]_+$$ (335)

Le calcul de $H(z)$ se fait en trois étapes: - filtrage de l'intercorrélation $R_{xy}(z^{-1})$ par $1/B(z^{-1})$ - suppression de la partie non causale de cette séquence - filtrage du résultat par le filtre causal $1/B(z)$