Traitement numérique des Signaux bidimensionnels
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{1}Introduction{4}
{1.1}Objectifs du cours{4}
{1.2}Description succinte
des chapitres{4}
{2}Représentation fréquentielle des signaux bidimensionnels
continus{5}
{2.1}La transformée
de Fourier 2D{5}
{2.2}La transformée
inverse{5}
{2.3}Interprétation
de la transformée de Fourier 2D{5}
{2.3.1}Interprétation d'une sinusoïde{5}
{2.3.2}Interprétation globale de l'image{6}
{2.3.3}Sur l'information contenue dans une image{7}
{2.4}Transformée
de Fourier et propagation d'ondes en optique cohérente ou en électromagnétisme{10}
{2.4.1}Franges d'interférence{10}
{2.4.2}Relations avec l'holographie{10}
{2.5}Propriétés
de la transformée de Fourier 2D{12}
{2.6}Transformée
de Fourier d'une convolution 2D{13}
{2.6.1}Convolution bidimensionnelle{14}
{2.6.2}Expression dans le domaine des fréquences{14}
{2.7}Transformée
de Fourier de fonctions séparables{14}
{2.7.1}Cas d'une fonction d'une seule variable{15}
{2.8}Le théorèeme
de projection de Radon {15}
{2.9}Effet de halo :Phénomène
de Gibbs, tâche d'Airy, diffraction de Fraunhofer {16}
{3}Echantillonnage des signaux 2D{17}
{3.1}Une remarque préliminaire
importante{17}
{3.2}Echantillonnage rectangulaire
ou carré{17}
{3.2.1}``Brosse'' d'impulsions de Diracs{18}
{3.2.2}Interprétation fréquentielle de l'échantillonnage{18}
{3.2.3}Le repliement spectral
dans le cas bidimensionnel{20}
{3.3}Reconstitution d'un
signal continu à partir du signal échantillonné{20}
{3.3.1}Le théorème d'échantillonnage{20}
{3.4}Echantillonnage parallélogramme{21}
{3.5}Echantillonnage hexagonal
(en quinconce){22}
{3.5.1}Quelques remarques sur le choix de la fonction d'échantillonnage{22}
{3.5.2}Reconstruction pratique des signaux bidimensionnels{22}
{3.6}Traitement d'images
et échantillonnage{23}
{4}Représentation fréquentielle des signaux discrets
bidimensionnels{24}
{4.1}La transformée
en z bidimensionnelle dans le cas de l'échantillonnage carré{24}
{4.1.1}Définition{24}
{4.1.2}Cas des fonctions séparables{24}
{4.1.3}Lien avec la transformée de Fourier bidimensionnelle{24}
{4.1.4}La transformée inverse{25}
{4.2}Les propriétés
essentielles{25}
{4.2.1}Transformée d'une convolution{25}
{4.2.2}}{26}
{4.2.3} Remarque sur le théorème de projection de Radon dans
le cas des signaux échantillonnés{26}
{4.2.4}Extensionà d'autres motifs d'échantillonnage{27}
{4.3}La transformée
de Fourier discrète ou DFT{27}
{4.3.1}Périodisation du signal spatial{27}
{4.3.2}La transformée de Fourier rapide bidimensionnelle{28}
{4.3.3}Transformée de Fourier rapide bidimensionnelle{28}
{4.3.4}Transformée de Fourier discr\`ete dans le cas d'un échantillonnage
en quinconce et d'un support parallélogramme{29}
{4.4}La transformée
en cosinus{30}
{4.4.1}Formules de la transformée en cosinus bidimensionnelle{30}
{4.5}Représentation
visuelle de la transformée de Fourier discrète{30}
{4.5.1}Caracère périodique de la transformée de Fourier
discrète et de son inverse{31}
{5}Filtrage des signaux bidimensionnels{32}
{5.1}Rappel sur la convolution
bidimensionnelle{32}
{5.1.1}Support de la convolution{32}
{5.2}Filtres à réponse
impulsionnelle finie{32}
{5.2.1}Implantation des filtres à réponse impulsionnelle
finie {33}
{5.3}Synthèse des
filtres à réponse impulsionnelle finie{33}
{5.3.1}Synthèse par pondération{33}
{5.3.2}Formes de fenêtres de pondération{34}
{5.3.3}Synthèse par extension bidimensionnelle d'un filtre monodimensionnel{34}
{5.4}Les sysèmes
linéaires récursifs bidimensionnels{35}
{5.4.1}Le problème de la causalité{35}
{5.4.2}Ecriture d'une convolution sous la forme d'équation récurrente{36}
{5.5}Stabilité des
filtres causaux{37}
{5.5.1}Le théorème de Rudin et ses corollaires{37}
{5.5.2}Interprétation en termes de lieu des racines{37}
{5.6}Lien avec les équations
aux dérivées partielles{38}
{6}Estimation spectrale des signaux bidimensionnels{39}
{6.1}Signaux aléatoires
bidimensionnels{39}
{6.1.1}Fonction d'autocorrélation et densité spectrale{39}
{6.1.2}Filtrage linéaire des signaux aléatoires bidimensionnels{39}
{6.2}Estimation spectrale
bidimensionnelle{40}
{6.2.1}Les techniques classiques non paramétriques{40}
{6.2.2}Techniques hautes résolution pour l'estimation spectral{40}
{6.2.3}Les techniques paramétriques (maximum d'entropie){42}
{7}Quelques problèmes de traitement de signaux multidimensionnels{44}
{7.1}Propagation de signaux{44}
{7.1.1}Equation de Helmholtz{44}
{7.1.2}Propagation de signaux en géophysique{44}
{7.1.3}Analyse par formation de voie{45}
{7.2}Cas où
les signaux sont échantillonnés et les capteurs alignés
et régulièrement espacés{46}
{7.2.1}Formation de voies et transformée de Radon {47}
{7.2.2}Résolution des équations de Maxwell utilisant la transformée
de Fourier en compatibilté avec le théorème d'échantillonnage{47}
{7.3}Filtrage d'ondes sismiques{48}
{7.5}Utilisation du bispectre
en astrophysique{54}
{7.6}Filtrage et détection
de contour{56}
{7.6.1}Le filtre de Canny dans le domaine des fréquences{56}
{7.6.2}Courbure d'un contour{56}
{8}Reconstitution d'images à partir de projections{49}
{7.4.1}Mesure de projections{49}
{7.4.2}Propriétés
des transformées de Fourier des fonctions projetées{50}
{7.4.3}Reconstitution dans
le domaine spatial ; formule de Radon{51}
{7.4.4}Coh\'erence avec
le théorème d'échantillonnage{52}
Mise en oeuvre pour les signaux échantillonnés{52}
Optimisation du résultat{53}
{7.4.5}résonance
magnétique nucléaire{53}